Faisons parler les chiffres

[Ygonaar]

Comme le topic « Question de règles : Compétences & Spécialités » le met en évidence, il peut être utile de comprendre les mécanismes aléatoires afin de bien maitriser le système de Warsaw et d'avoir des prospectives objectives sur vos éventuelles modifications. Je vous propose ce topic pour expliciter superficiellement les notions de probabilités du système classique et de vos éventuelles modifications. N'hésitez pas à poser la moindre question ou à critiquer.

Amitiés.

P.S. comme il semble impossible de faire des indices et des exposants sur le forum, les indices seront en rouge et les exposants en bleu.

[Ygonaar]

Dans ce jeu, la génération du hasard se fait uniquement à l'aide de dés à six faces (pouvant donc être abrégés par « D »). On considère bien évidement que tous les dés sont convenablement équilibrés et que chaque chiffre sur chaque dé à autant de chance de sortir qu'un autre. Avec un seul dé, tout les résultats possibles sont équiprobables, ayant chacun une chance sur six d'être tiré.

Mais à la différence des jeux « à pourcentage », où la probabilité de tirer un nombre précis est homogène, Warsaw fonctionne par addition d'un certain nombre de « D ». Chaque score précis peut alors être obtenus par un certains nombres de combinaison, et ce dernier est variable. Or plus le nombre de combinaisons possibles est important, plus ce score spécifique a des chances d'être obtenu par rapport à d'autre. Le nombre total de combinaisons possibles étant de 6.

Exemple : on tire deux dés, donnant un panel de scores possibles de 2 à 12 :
* « 2 » possède une seule combinaison (1+1) sur les 6=36 possibilités, soit la probabilité de tirer 2 est de 1/36;
* « 3 » possède 2 combinaisons (2+1 et 1+2) soit P(3) = 2/36 =1/18;
* « 4 » a 3 combinaisons (3+1, 2+2 et 1+3) soit P(4) = 3/36 = 1/12;
* « 5 » a 4 combinaisons (4+1, 3+2, 2+3 et 1+4) soit P(4) = 4/36 = 1/9 ;
* « 6 » a 5 combinaisons (5+1, 4+2, 3+3, 2+4, 1+5) soit P(6) = 5/36 ;
* « 7 » a 6 combinaisons (6+1, 5+2, 4+3, 3+4, 2+5, 1+6) soit P(7) = 6/36 = 1/6 ;
* « 8 » a 5 combinaisons (6+2, 5+3, 4+4, 3+5, 2+6) soit P(8) = 5/36 ;
* « 9 » a 4 combinaisons (6+3, 5+4, 4+5, 3+6) soit P(9) = 4/36 = 1/9 ;
* « 10 » a 3 combinaisons (6+4, 5+5, 4+6) soit P(10) = 3/36 = 1/12 ;
* « 11 » a 2 combinaisons (6+5, 5+6) soit P(11) = 2/36 = 1/18 ;
* « 12 » a une seule combinaison (6+6) soit P(12) = 1/36 ;

Évidemment, l'univers P = P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)+P(7)+P(8)+P(9)+P(10)+P(11)+P(12) = (1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1)/36 = 36/36 = 1.

On remarquera que plus on approche du score médian (ici 7), plus le nombre de combinaisons possibles (ou occurrences), et donc la probabilité de tirage, augmente. L'occurrence maximum se trouve par définition autour de l'espérance mathématique, qui correspond à 3,5*nombre de dés. La croissance puis la décroissance du nombre d'occurrence autour de l'espérance mathématique est symétrique. On remarquera que pour 2D cette variation est linéaire, mais cela ne devient plus vrai si l'on augmente le nombre de dés.

Exemple : pour 3D, on a :
P = P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7) + P(8) + P(9) + P(10) + P(11) + P(12) + P(13) + P(14) + P(15) + P(16) + P(17) + P(18) = (1+3+6+10+15+21+25+27+27+25+21+15+10+6+3+1) / 6 = 216 / 216.
L'espérance mathématique est de 3*3,5=10,5. Le nombre de combinaisons possibles pour obtenir un score de 10 ou 11 est de 27, ce qui correspond bien au nombre d'occurrences maximum.

[Ygonaar]

A partir de 3D, la répartition du nombre de combinaison en fonction du score n'est donc plus linéaire mais suit une courbe de Gauss. Si le nombre de combinaison maximum devient de plus en plus grand lorsque l'on augmente le nombre de dés, la probabilité associée elle devient de plus en plus faible. Ainsi, pour 2D, P(7) = 1/6 = 36/216 alors que pour 3D, P(10) = 27/216, tout simplement parce que le nombre de score possible devient de plus en plus grand, et que la somme des probabilités de tout les scores est toujours égal à 1. Les courbes de Gauss correspondant à chaque groupement de dés sont donc difficilement comparables directement. Il faut au préalable les calibrer à un même repère, tant pour les ordonnées que pour les abscisses. Le schéma ci-dessus représente ces dites courbes en % de leur propre occurrence maximum et en % de leur répartition en score possible.



Lorsqu'on jette 1D, le nombre de combinaison maximum est 1, et donc tout les scores possibles sont équiprobables, et donc à 100%. Avec 2D, on observe un nombre de combinaisons croissant et décroissant linéairement autour de l'espérance mathématique (7). A partir de 3D, on observe une courbe de Gauss. Plus le nombre de dés est grand, plus son écart type diminue, c'est à dire que la « cloche » devient de plus en plus étroite. Cette dernière correspond grossièrement à la « plage utile », c'est à dire au score qui ont une chance raisonnable d'être obtenue. Le reste des scores est de l'ordre du possible mais de plus en plus improbable. Pour se faire un meilleure idée, si le score maximum est 108, on a toutefois plus de chance de gagner le gros lot à l'Euromillion que d'obtenir un résultats supérieurs à 97.

Ce qu'il est donc important de comprendre, c'est que plus les groupements de dés sont importants, plus il y a de chance que les scores obtenus gravitent autour de l'espérance mathématique. Sortir de la « plage utile » garanti un succès ou un échec "presque" garanti.

[Ygonaar]

Comment calculer, pour chaque groupement de dés, la probabilité d'obtenir chaque score possible ?
Il faut tout d'abord rappeler quelques définitions:

* On nomme factorielle de n (ou n !) la suite 1*2*3*...*n-1*n avec 1 ! = 1 et par convention 0 ! = 1. Les tableurs peuvent calculer cette valeur grâce à la commande « =fact(n) ».

* On nomme coefficient binomial le nombre de sous-ensembles différents à x éléments que l'on peut former à partir d'un ensemble contenant y éléments, noté aussi C. Élément important, x et y doivent être des entiers naturels (positif ou nul) et y doit être supérieur ou égal à x. Le coefficient binomial répond à la formule :
C signifie qu'il faut faire la somme de l'expression mathématique qui va suivre en incrémentant à chaque de l'élément n, de la valeur 1 jusqu'à la valeur x-1.

*Pour éviter les confusions avec les termes mathématiques préétablis, on nommera occurrence (Oc) le nombre de combinaisons existantes pour obtenir un score donné avec un nombre de dés fixés. Cette occurrence divisée par 6 puissance le nombre de dés donne la probabilité d'obtenir ce score précis.
P(y si x) = Oc/6

Si l'on considère que y est le score à obtenir et x le nombre de dés jetés, alors le nombre d' occurrences possibles correspond à la formule :

Oc = Oc* C - Σ Oc* Oc

Formule somme toute assez abominable à appliquer, même si tous les éléments ayant un « y-(n*6) » inférieur à x sont à négliger car ils correspondent à des combinaison impossible (il est par exemple impossible d'obtenir 4 en ajoutant 5D).

exemple : Calculons le nombre de combinaisons possibles pour obtenir 29 avec 5D
Oc = Oc* C - Σ Oc* Oc = Oc* 20475 - (Oc*Oc + Oc*Oc + Oc*Oc + Oc* Oc )
avec
Oc=1 par définition ;
Oc=Oc*C =1*5=5 ;
Oc=Oc*C =15 ;
Oc=C =35 ;
Oc=C =70 ;
Oc=C -(Oc* Oc)= 210-(5*1)=205 ;
Oc=C -(Oc* Oc+Oc* Oc)=1820-(5*205+15*1)=780 ;
Oc=C -(Oc* Oc+Oc* Oc+Oc* Oc)=7315-(5*780+15*205+35*1)=305

donc Oc = 1* 20475-(5*305+15*780+35*205+70*1) = 5

Une formule qui peut être utile pour les x très grands, puisqu'elle ne nécessite comme calcul intermédiaire que des occurrences ayant la même valeur de x. Cependant, même à l'aide d'un tableur, elle reste pénible à utiliser, et les cas de x supérieurs à 20 seront probablement rarissime dans Warsaw.

Quitte à utiliser un tableur, on peut utiliser une autre formule beaucoup plus simple et intuitive:

Oc = Σ Oc

mais qui nécessite de connaître toutes les occurrences des x précédents, en partant de Oc = 1.

Exemple :
Oc = Oc + Oc + Oc + Oc + Oc + Oc = 0+0+0+0+1+4 = 5 car avec 4D, les scores supérieurs à 24 sont impossibles.
P(29 si 5D) = 5/7776 = 0,64 pour mille.

La probabilité de réussir un jet à un niveau de difficulté donné correspond à la somme de toutes les probabilités de réussir un score égal ou supérieur à cette difficulté. Ce que l'on appelle la probabilité cumulée.

Exemple. Les chances de réussir un jet difficulté 25 avec 5D est égale à :
P(25 si 5D)+P(26 si 5D)+P(27 si 5D)+P(28 si 5D)+P(29 si 5D)+P(30 si 5D) = (126+70+35+15+5+1)/65= 252/7776 = 3,241 %

[Ygonaar]

Un tableau contenant la probabilité de réussite pour chaque score risque d'être assez illisible, mais les valeurs de seuils étant généralement un multiple de 5, cela nous donne une table déjà plus aérée.



Toutefois, l'ensemble de nos valeurs peuvent être représentées sur une représentation graphique, toujours utile pour synthétiser un grand nombre de données.



On remarque que chaque courbe à partir de 3D peut se diviser grossièrement en trois phases : une phase logarithmique, une phase linéaire qui correspond à notre cloche sur la représentation en courbe de Gauss et une phase exponentielle. La manière la plus formelle de trouver des limites à ces phases serait de déterminer le maxima et et le minima de la dérivé seconde, c'est-à-dire les points d'accélérations et de décélération du score obtenu en fonction du pourcentage de chance. Formaliser une suite (car nous avons ici des pourcentages cumulés) d'une Loi Normale étant relativement ardu, j'ai considéré que la représentation graphique nous permettait d'estimer tous les points d'inflexions dans les zones des 3% et des 97 % de réussite. Cela nous donne une plage utile (PU) obtenue dans 94 % des cas. La zone verte donnant les scores qui ne seront ratés qu'exceptionnellement et la zone rouge les scores fortement improbables de réussir. Plus le groupement de dés est important, plus ces zones correspondent à large portion des score utile.

Pour aider le MJ à déterminer une difficulté, il peut être utile de à partir de quel facteur de difficulté le joueur prend un risque négligeable, faible, moyen, important ou utopique.



La ligne 0% de chance de réussite correspondant au score maximale plus un. Pour se faire une idée, PU indique le nombre de score possible dans la plage utile et la ligne suivante le pourentage que cela représente par rapport à la totalité de scores possibles. Dans le même ordre d'idée, Pfr (pour plage fréquente) représente le nombre de score ayant une probabilité d'obtention inférieure à 75 % et supérieure ou égale à 25 %. La ligne suivante souligne à quel point cette plage, qui contient pourtant environ la moitié des tirages, représente une fraction très faible des scores possible.
Si la croissance de cette plage en fonction du nombre de dés n'est pas strictement régulière, c'est que l'on détermine des scores entiers, et non réels, en fonction d'une limite mathématique arbitraire.

Les scores au-dessus de 85 n'étant plus pertinent (probabilité de réussite inférieure à 1 sur mille même avec 18D), un graph réduit pourrait être plus utile à un MJ qui voudrait l'utiliser en jeu.

[Ygonaar]

Un des aspect très important du système de Warsaw est la possibilité de se fatiguer lors des périodes de tension. Estimer correctement le risque de faire des « un » devient alors un élément stratégique primordiale. Si le risque est de un sur six avec un dés, il n'est bien sur pas linéaire par la suite.

Si x correspondant toujours au nombre de dés jetés et y au nombre de « un » obtenu, la formule pour déterminer le nombre de un obtenu est heureusement un peu plus simple que précédemment :
Oc = 5* C

Exemple. Les chances d'obtenir 2 « un » avec 5D est égale à :
P(2 si 5D) = Oc / 6 = (5* C) / 7776 = 125*10 / 7776 = 0,16075 soit environ 16%

Déterminer la probabilité de ne faire aucun un revient donc à :
P(0 si x) = (5* C) / 6 = 5*1 / 6 = 5/6
Ce qui est assez intuitif.

Évidemment, il plus intéressant de raisonner en probabilité cumulée pour mesurer le risque. Plutôt que de calculer la probabilité de faire strictement 2 un avec 5D, on préférera mesurer le risque de faire au moins 2 un.

P(2 si 5D) = P(2 si 5D) + P(3 si 5D) + P(4 si 5D) + P(5 si 5D) = (1250+250+25+1) /6 = 1526 /7776 = 0,19624 soit à peu prés 20 %.

Bien sur, l'univers P(si x) = P(0 si x) + P(1 si x) = 1.



Si la probabilité de faire 1 « un » n'est jamais négligeable, il faut en revanche avoir de gros groupement de dés pour que celle de faire plus de 3 « un » devienne significative. Pour ceux que cela aide, on peu aussi visualiser cela graphiquement.

[Ygonaar]

Dans « Question de règles : Compétences & Spécialités », Kelakhai envisageait de faire des super-spécialistes (ceux dont la somme de la compétence générale et de la spécialité dépasserait 6) qui comptabiliseraient les « un » comme des « deux ». Qu'est-ce que cela donnerait d'un point de vue probabilité ?

Cela implique que chaque événements aléatoires ne sont plus équiprobables. Si on garde une chance sur six d'obtenir un 3, un 4, un 5 ou un 6 sur chaque dés, celle d'obtenir un 1 tombe à 0 et celle d'obtenir un 2 monte à un tiers. L'espérance mathématique devient (2+2+3+4+5+6)/6 = 3,6667. Une fois ces éléments aléatoires établies, on peut appliquer la formule :

Oc = Σ Oc + Oc

En ce rappelant que les scores inférieures à 2*x ou supérieure à 6*x n'existe pas.

Exemple :
Oc = Oc + Oc + Oc + Oc + Oc + Oc = 88+88+56+32+16+0 = 280 car avec 4D, les scores inférieurs à 8 sont impossibles.

Une fois les occurrences calculées, on peut regarder leur répartition dans un repère calibrées pour l'axe des abscisses et des ordonnées.



Les probabilité de réussite non homogène rendent les courbes assez chaotique mais à partir de 4D, on obtient ce qui commence à ressembler à des courbes de Gauss à défaut de loi normal. Bien que l'espérance mathématique est plus forte que dans le système classique, la « cloche » est significativement déportée vers la gauche. Cela vient du fait que si les scores maximum restent inchangés, les minimums passe de 1*nd à 2*nd et que les scores moyens obtenus sont supérieurs. Avec cette représentation, on remarque bien que la plage des scores « exceptionnellement haut » est bien plus étendue que celle des « exceptionnellement bas ». En caricaturant un peu, le jouer fera des scores légèrement supérieurs à la normale et parfois des scores exceptionnellement bon, mais quasiment jamais de résultat très mauvais.

On peut établir les probabilité cumulées.



Sur ce graphique sont représenté en épais les courbes obtenues avec le nouveau système et en fin celles obtenues avec un tirage normal. Ces courbes se rejoignent sur la droite, lorsque l'on atteint des scores suffisamment grand pour qu'il ne puisse plus y avoir de 1 dans la combinaison de dés. Plus le groupement de dés est grand, moins cette équiprobabilité à de chance d'arrivée. Le corolaire est vrai : plus les scores visés sont bas, plus le bonus apporté est important. Ceci dit, c'est le décalage sur l'axe des abscisses pour un y donné qui est vraiment pertinent pour le joueur. C'est donc vers la moitié de la plage utile que le système est le plus profitable.

Exemple : il y a 28 758 fois plus de chance d'échouer avec un facteur de difficulté de 37 et 18D dans le système classique que dans le système modifier. Mais dans la pratique, avoir une probabilité de réussite de 99,9926 % au lieu de 99,99999974 % ne signifie pas grand chose. En revanche, la probabilité d'échouer à faire 60 avec ces 18D n'est « que » deux fois plus grande dans le système classique, mais avoir 68,4 % de réussir au lieu de 84,8% commence à devenir parlant.

Pour illustrer cela :



Ce tableau indique les gains significatifs (supérieurs ou égal à 1% une fois arrondi) pour réussir une difficulté donnée avec le système modifié versus le classique. En grisé est représenté les scores possibles avec les deux systèmes et en vert ceux qui ne peuvent être obtenu qu'avec le système classique.